Examen AP Calculus AB, 2011. Pregunta 4d

te encuentras la tasa promedio de cambio de f en el intervalo menos 4 menor o igual que x-men o igual que 3 que es el intervalo que siempre hemos estado trabajando y además dice no hay un punto c tal que menos 4 sea menor que ese menor que 3 para el cual f prima desee sea igual a la tasa promedio de cambio explica por qué esta afirmación no contradice el teorema del valor medio fascinante así que empecemos a resolver este problema por la primera parte si se encuentra la tasa promedio de cambio de la función f en el intervalo menos 4 menor o igual que x-men o igual que 3 la tasa de promedio de cambio es una muy elegante y tal vez un poco rimbombante pero no es ni más ni menos que la pendiente de la recta que junta los dos puntos extremos es decir la pendiente de la recta que acabo de trazar de morado pero recuerdan que la pendiente es el cambio del iev en comparación del cambio de x que es el cambio de x bueno pues es 7 porque es la distancia que hay de menos 4 a menos 3 es decir de los puntos extremos del intervalo 1 2 3 4 5 6 7 y ahora cuánto va a ser el cambio en jr pues el cambio aquí es lo que hay de menos 1 a menos 3 es decir el cambio y como baja como decrece va a ser igual a menos 2 entonces la pendiente de la recta de morado que era la pendiente de la recta de los puntos extremos es el cambio entre el cambio en x que esto es igual a 7 entre la mano no perdón es al revés no es menos 2 entre 7 entonces voy a poner menos 2 entre 7 que el cambio en x y así de fácil es al principio sonaba muy difícil y tal vez un poco llamativo sin embargo no era tan difícil como ustedes pensaban hay otra forma de verlo de hecho la tasa promedio de cambio sería lo mismo que tomar el promedio de todas las pendientes de mi recta tangente en cada uno de los puntos dicho de una manera formal lo que quiero es el fue prima de x perdió la suma de todas ellas por lo tanto voy a hacer la integral de menos 4 a 3 efe prima de x de x y yo lo que es el promedio entonces hay que dividirlo entre la cantidad de x que era 7 unidades o lo que es lo mismo multiplicado por un séptimo ahora bien por el programa fundamental del cálculo podemos cancelar la integral con la derivada y solamente nos va a quedar la función evaluada en los límites de integración y todo esto dividido entre 7 y ya está tenemos otra vez lo mismo porque 7 es el cambio en x y efe de 3 - efe de 4 fue lo que nosotros evaluamos esto era igual al cambio in game entonces obtenemos simple y sencillamente es lo mismo y bien con esto concluimos la primera parte de este problema la tasa promedio de cambio de este intervalo va a ser menos dos séptimos ahora vamos con la segunda parte dice no existe un punto ce en el intervalo menos 4 menor que sea menor que 3 para el cual f prima desee sea igual a la tasa promedio de cambio explica porque esto no contradice el teorema con el teorema del valor medio entonces vamos a recordar que dice el problema del valor medio dice supongamos que tú tienes un eje ordenado y en este récord de nada es un intervalo en x entonces este es mi intervalo y después del teorema del valor medio toma usted es una función diferenciable entonces voy a tomar una función diferenciable esta y después el teorema del valor medio dice existe en esta función diferenciable un punto ce tal que la pendiente de su recta tangente es igual a la tasa promedio de cambio entonces la tasa promedio de cambio la voy a dibujar aquí vamos a hacer lo mismo que hicimos hace rato estas millas de promedio de cambio y en esta función tengo que encontrar puntos tales que la pendiente de su recta tangente sea la misma que la tasa promedio de cambio y de hecho aquí están fíjense nos vamos a encontrar aquí por ejemplo este es uno tiene una pendiente muy parecida a la tasa promedio de cambio aquí hay otro lo voy a pintar y aquí hay otro más bien esos son los puntos cuya pendiente de su recta tangente es igual a la tasa por medio de cambio y bueno al menos lo que nos dice el teorema del valor medio es que existe un punto ce el cual su pendiente es igual a la tasa promedio de cambio ahora el acertijo de esta segunda parte es encontrar porque en esta función efe x no existe ningún punto cuya pendiente su recta tangente es igual a menos dos séptimos queda mientras el promedio de cambio y escriben se cuenta hasta se pueden comprobar por ustedes mismos todas estas pendientes son positivas y de repente cambia bruscamente la pendiente hacer siempre sencillamente menos 2 nunca pasa por una pendiente de menos dos séptimos porque pasa esto porque no se contradice el teorema del valor medio y la respuesta es que en este punto x igual a cero la función no es diferenciable y el teorema del valor medio te pide que sea diferenciable de hecho aquí en el valor x igual a cero recuerden que hay un gran salto un salto de 0 a 3 en x entonces es éste la razón por la cual mi teorema del valor medio no se cumple y es que en las hipótesis del teorema del valor medio te pide que la función sea diferenciable en todos los y aquí encontramos un punto donde no es diferenciable la pendiente cambia bruscamente por lo tanto no se cumple más el valor medio la derivada toma valores positivos y después valores muy cercanos al 0 y después de un salto brusco hasta el valor de menos 2 y no pasa por todos los valores intermedios que es del 0 al menos 2