Encontrar la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria binomial

una compañía produce procesadores para teléfonos celulares en una de sus fábricas más grandes el 2% de los procesadores que se producen presentan algún defecto en una inspección de control de calidad se seleccionan y se prueban aleatoriamente 500 procesadores cuál es la media y la desviación estándar del número de procesadores defectuosos en esta muestra como siempre pausa el vídeo e inténtalo por tu cuenta después lo trabajaremos juntos ok déjame definir una nueva variable aleatoria a la cual le podamos calcular la media y la desviación estándar de hecho voy a definirla como la variable aleatoria del número de procesadores defectuosos en esta muestra así que déjame anotarlo voy a decir que la variable aleatoria x va a ser igual al número de procesadores defectuosos en esta muestra el número de procesadores defectuosos en una muestra de 500 procesadores y la primera cosa que puedes reconocer es que esta es una variable binomial déjame anotarlo esta de aquí es una variable binomial cómo podemos saber que es binomial bueno la inspección consta de 500 ejecuciones por lo tanto tiene un número finito de ejecuciones la probabilidad de obtener un procesador defectuoso es siempre la misma que puedes ver como la probabilidad de éxito es un poco contra intuitivo que obtener un procesador defectuoso sea un éxito pero lo que estamos buscando la probabilidad de obtener un procesador defectuoso entonces podemos decir que la probabilidad de obtener un procesador defectuoso es constante a lo largo de estas 500 ejecuciones y bueno podemos suponer que son independientes una de la otra y que esta probabilidad es del 2% es decir del 0.02 ok tal vez me puedas decir hey hay reemplazo o no hay reemplazo pero suponiendo que tenemos esta muestra de una población funcional infinita de procesadores esto realmente no importa pero si te hace sentir más cómodo reemplazar los procesadores que tomamos aunque no lo digan puedes pensarlo de esa manera así que suponiendo que estas ejecuciones son independientes y que la probabilidad de obtener un procesador defectuoso es constante podemos concluir que tenemos una variable binomial aleatoria y ya sabemos las fórmulas para la media y la desviación estándar de una variable binomial aleatoria voy a decir que la media de x o dicho de otra manera el valor esperado de esta variable binomial aleatoria x es igual y bueno ya vimos al número de ejecuciones que a eso le habíamos puesto el nombre de n por la probabilidad de éxito en cada una de esas ejecuciones por b así que en este caso en especial voy a obtener que el valor esperado de x va a ser igual a 500 ejecuciones voy a tomarme 500 procesadores ok ya esto multiplicarlo por la probabilidad de éxito que es la probabilidad de obtener un procesador defectuoso que eran de 0.02 ahora tengo 500 x 0.02 500 por dos centésimas bueno eso es lo mismo que 10 por lo tanto puedo concluir que el valor esperado o la media de la cantidad de procesadores defectuosos que encontrarás en el control de calidad es de 10 ok y ahora como encontramos la desviación estándar bueno la desviación estándar de esta variable aleatoria x es igual a la raíz cuadrada de la varianza de esta variable aleatoria x bueno esta es una forma en la que la puedes encontrar con la otra anotación que puedes encontrar es la siguiente esto es igual a la varianza de x déjame ponerlo también así la anotación a veces es la parte más confusa de la estadística y bueno esto es igual a la raíz cuadrada de y tengo la cantidad de datos que ya habíamos dicho que es n por la probabilidad de éxito que ya habíamos dicho que era p por 1 - esta probabilidad de éxito por 1 - p ok todo esto está adentro del radical ok así que en este ejercicio esto es igual a la raíz cuadrada de bueno tengo n que sabemos que son 500 procesadores 500 que va a multiplicar a la probabilidad de éxito que como ya vimos es 0.02 y esto a su vez va a multiplicar a 1 - pm 1 - esta probabilidad bueno eso es lo mismo que 0.98 ok entonces todo esto está adentro de nuestro radical y esto va a ser igual a bueno esto es lo mismo que la raíz cuadrada de m y ya habíamos dicho que quinientos por dos centésimas eran 10 10 x 0.98 es 9.8 y ahora la raíz cuadrada de 9.8 mes y usamos la calculadora déjame traerla por acá y voy a sacar la raíz cuadrada de 9.8 ok su raíz cuadrada es esto y obtengo 3.3 cm si redondeamos a la centésima más cercana así que déjame ponerlo esto de aquí va a ser aproximadamente igual a 3.13 si redondeamos a la centésima más cercana esta es mi desviación estándar y si quiero la varianza sería de 9.8 en fin espero que hayas disfrutado este problema nos vemos en el siguiente vídeo