Transformadas inversas de Laplace. Ejemplos

mucho de lo que hemos hecho hasta el momento con la transformada de la plaza y la inversa en la transformada de la plaza ha sido encontrar patrones pero realmente no debería ser algo mecánico y es por eso que vamos a hacer algunos ejercicios para mostrarles por qué funcionan y para asegurarnos de evitar confusiones vamos a hacer una revisión de todo lo que hemos aprendido hasta el momento en el vídeo anterior vimos que la transformada de la plaza de ft y vamos a hacer una aclaración en notación esto también lo podemos escribir como f mayúscula de s y ya se los había mencionado antes en el vídeo anterior vimos que si teníamos que lidiar con la función escalón unitario la transformada de la plaza de la función escalón a unitario que se convierte en 1 en un valor c x una función desplazada efe dt menos c en el vídeo anterior vimos que esto es igual a ala - c por s x la transformada de la plaza de esta función x f de s y es muy importante no confundir esto con otra transformada de la plaza propiedad o reglas como le quieran llamar que encontramos hace algunos vídeos si siguen estos vídeos en orden habrá sido hace unos 3 o 4 vídeos atrás y esta regla nos dice que la transformada de la plaza ^ aporte x ft esto es igual y en este punto quiero hacer una distinción muy clara aquí arriba lo que hicimos fue tomar una función que estaba desplazada y aquí tenemos como resultado la transformada f mayúscula de s pero aquí abajo estamos multiplicando la por el elevado aporte con lo que terminamos teniendo un desplazamiento en la transformada fs - y estas son dos reglas o propiedades como las quieren llamar que son muy fáciles de confundir así que vamos a hacer un par de ejemplos para saber cuál usar en cada caso y vamos a escribir todo lo demás que hemos aprendido hasta el momento lo primero que aprendimos fue que la transformada de la plaza de uno es igual a uno entre s ese es bastante sencilla y en general aprendimos que la transformada de laplace dt elevado a la m siempre y cuando m sea un entero positivo sería igual a m factorial entre ese elevado a la n-1 también encontramos nuestras funciones trigonométricas cuyas transformadas vamos a escribir en un color diferente la transformada de la plaza del seno de aporte es igual / s cuadrada menos a cuadrada la transformada de la plaza del coseno de aporte es igual a s / s cuadrada más a cuadrada y ustedes se sorprenderían realmente al saber qué tan lejos podemos llegar con solamente lo que se ha escrito aquí aunque nuestra caja de herramientas es más grande con solamente lo que tenemos aquí podemos hacer todo un conjunto de transformadas de la plaza y transformadas inversas así que vamos a tratar de hacer algunas digamos que ya les di la transformada de la plaza y van a esta es la parte difícil ustedes saben cómo resolver una ecuación diferencial si saben cómo tomar las transformadas de la plaza con su transformación y su transformación inversa lo difícil es distinguir entre ellas aquí tengo la transformada de la plaza fs que es 3 factorial / hice menos dos a la cuarta ahora para encontrar el patrón que le corresponde la parte de nuestro cerebros que reconoce patrones ustedes pueden decir bueno yo tengo una transformada de la plaza que tenga un factorial en él y que también tenga un exponente así que esto debe ser algo relacionado con esta regla vamos a tratar de escribir la transformada de la plaza que podría corresponder a esto la transformada de la plaza así que aquí tenemos un exponente que es 4 así que nuestra m podría ser un 3 t elevado al cubo esta propiedad de aquí quedaría igual a 3 factorial entre s a la 4 bueno esto de acá no es exactamente esto de aquí arriba estos dos no son lo mismo y esto lo estoy haciendo ahorita para instruirlos pero yo me he topado con estas cosas en exámenes recuerda que cuando la primera vez que aprendí esto pase por esta parte y en verdad uno lo quiere tener errores por descuidos uno quiere asegurarse de estar haciendo bien las cosas así que algo relacionado con esto veamos cuál es la diferencia entre esta expresión y la expresión a la cual queremos encontrar la transformada inversa de la plaza esta de aquí arriba bueno pues vamos a desplazar nuestra efe si llamamos a esto a esta expresión efe de s ds concede esta expresión de aquí arriba esta expresión de aquí arriba sería efe de ese menos dos esta sería efe de ese menos dos y con que estamos tratando aquí como pueden ver aquí tenemos una función desplazada fs así que en este caso a sería igual a 2 esta es la transformada de la plaza de elevado aporte x ft así que vamos a escribir esto esta es la transformada de la plaza de e ^ y que es bueno es nuestro desplazamiento en este caso es 2 he elevado a la 2 porte x nuestra función si ésta es fs cuál sería nuestra gente sería t al cubo así que la transformada de la clase esto es igual a esto otro podemos escribir que la transformada inversa de la plaza 3 factorial / s - 2 a la cuarta es igual a e a la 2 por 'the x teal como bueno si esto les pareció algo confuso pueden ir hacia adelante vamos a hacerlo en la otra dirección para que quede un poco más claro si yo tuviera que hacer la transformada de la clase de esto bueno vemos que la transformada de laplace dt al cubo es bastante fácil la transformada de la plaza de esta pluma no está funcionando bien y permítanme hacer un poquito más de espacio aquí para poder escribirlo si yo quisiera encontrar la transformada de la plaza de elevado a dos por 'the x t al cubo bueno vemos que ésta es a la 2 x te implica un desplazamiento así que yo sé que la transformada de la plaza dt al cubo éste es bastante fácil es igual a tres factores entre s a la cuarta ya que es tres más uno y la parte de la transformada de la plaza a la 2 x te vas esto pero desplazado esto es fs esto cuando sea x a la 2 x te va a darnos fs menos 2 y cuales fs menos 2 va a ser igual a 3 factorial entre s menos 2 a la cuarta creo que con esto comienzan a darse cuenta de que la parte más difícil en las transformadas de la plaza es lidiar con todos estos desplazamientos y reconocer los patrones para encontrar cuál es la cual es la ce y tener mucho cuidado al respecto pues no queremos cometer errores por descuido y sin duda a realizar varios ejercicios al respecto nos va a ayudar muchísimo en esto para que todo quede bien claro en nuestras mentes y ahora vamos a hacer un problema un poco más complicado no usan la transformada de la plaza de ese de una función y ese transformada es igual a 2 x s menos 1 x a la menos 2 s y todo eso está dividido entre s cuadrada menos 2 s más 2 y esto es bastante difícil bueno tengo una de aquí tengo un desplazamiento y aquí tengo un polinomio en el denominador como lo resuelvo cuando veo estos polinomios lo primero que hago es factorizar los de alguna forma y esto no es difícil de factorizar de hecho en sus exámenes que se encontrarán en las clases de ecuaciones diferenciales nunca les presentaran algo que sea factor isable en números raros siempre tienden a ser enteros así que tenemos que ver cuál es los números que sean positivos cuando se hace el producto de ellos y cuál otro tendremos que agregar que sea positivo o que podría ser negativo o ambos negativos pero no hay dos números que sean fáciles y ninguno de estos está funcionando así que si no pueden factorizar los directamente la segunda opción es completar el cuadrado y quizá esto coincida con alguna forma de coseno como podríamos completar el cuadrado en este denominador podemos escribir esto como s al cuadrado menos 2 s voy a poner un +2 aquí afuera y bueno para que ustedes puedan entender esto tengo varios vídeos sobre cómo completar cuadrados para completar este cuadrado necesitamos convertir esto en un cuadrado perfecto y para hacerlo tenemos que encontrar algo que cuando se agregue a sí mismo dos veces nos dé este menos dos y que cuando lo eleve al cuadrado se convierte en uno más uno que cuando lo hago al cuadrado queda más uno pero no puedo agregar más uno arbitrariamente aquí para poderlo agregar tengo que equilibrar esto de manera que aquí afuera lo resto pongo un -1 y esto no ha cambiado sin embargo ahora tengo esta expresión que puedo transformarla en ese menos uno al cuadrado y esta parte de aquí afuera queda como 2 - 1 así que aquí nos quedaría un +1 por lo que ahora puedo reescribir toda mi expresión como 2 por s menos 1 por el ala menos 2 s voy a hacer un poquito más despacio que para que se note todo esto entre s - 1 al cuadrado más 1 y ahora podemos notar algunas cosas interesantes aquí vamos ahora a tratar de hacer algunas pruebas con algunas transformadas de la plaza por ejemplo la transformada de la plaza del cosena de té sabemos que esto es igual a s / s al cuadrado más 1 que es un poquito parecido a esto si esto de aquí fuera una s y esto de aquí abajo fueron una escuadra damas 1 si esto fuera fs que sería esto vamos a ignorar esta por el momento del vídeo anterior sabemos que si tomamos la transformada de la plaza la transformada de la clase ^ uno por t a la 1 por t por el coseno dt todo esto tendría un desplazamiento un desplazamiento de esa transformada de la plaza en uno hacia la derecha por lo que en donde encontremos una s la vamos a cambiar por s menos 1 y así tenemos que esto es igual a ese menos 1 entre s menos 1 al cuadrado más solo y ya nos estamos acercando ya hemos encontrado esta parte de acá en un vídeo anterior me parece que fue hace dos vídeos o quizás en el vídeo anterior no me acuerdo bien les mostré que si tenemos la transformada de la plaza de la función escalón unitario en c dt multiplicada por una f dt con un desplazamiento de c esto era igual e elevado a la - ce por s x efe de s bueno aquí hay que poner mucha atención porque puede resultar confuso y por eso tenemos que tener mucho cuidado acá vamos a ignorar esto que llame fs antes pero ahora vamos a regresar nos un poco y vamos a ignorar esto por el momento voy a redefinir nuestra fdf y vamos a definir nuestra fdp como esta parte de aquí digamos que ft es igual a alarte por coseno de t y si tomamos la transformada de la plaza de esto nos va a dar que fs va a ser igual a ese menos 1 / s menos 1 al cuadrado más 1 aquí no hay nada complejo simplemente define mi efe dt como esto y mi fs como esto otro ahora tenemos una situación aquí en la que bueno en esta expresión vamos a ignorar este 2 es un factor escalar que podemos ignorar tranquilamente esta expresión de aquí la podemos reescribir como bueno si esta es nuestra fs esta expresión de aquí será igual a 2 x nuestra fs x y a la menos dos por s vamos a describir lo en otro orden para que quede un poquito más claro es 2 x el ala menos 2 s x f de s y esto luce igual que esto de aquí arriba así que nuestro 2 es igual a nuestra c esto nos dice que la transforma de inversa de la plaza y si éramos la transformada inversa de la plaza de esto y de nuevo vamos a ignorar por un momento este 2 bueno no mejor vamos a hacer la transformada inversa de la plaza de todo esto así que la transforma de inversa de la plaza va a ser igual a recordamos que este 2 es un factor escalar lo podemos sacar multiplicado por esto la función es que la humanitario y cuál es nuestra sed hacemos una comparación de patrones y tenemos aquí un menos aquí tenemos un menos dos pues nuestra se va a ser igual a 2 nuestra función escalona unitario va a ser igual a 0 hasta que llegue a 2 que va a ser igual a 1 cuando te sea igual a 1 x nuestra función con un desplazamiento de 2 - 2 así pues esta es nuestra transformada inversa de la plaza y bueno cuál fue nuestra función nuestra función o fue esta parte de aquí así que la transformada inversa de la plaza de esto que había escrito es esto efe dt que es igual a la t coseno de t y vamos a escribir ahora todo completo nuestro resultado completo establecimos que no está transformada inversa de la plaza destacó se norme que escribientes 2 por s menos uno por el ala menos dos por 'the perdón a la menos 2 s no debemos tenerle aquí entre s al cuadrado menos 2 s más 2 es igual a esto donde ft es esto lo podemos describir como dos x la función escalón unitario que comienza en 2 dt x efe dt menos 2 y está ft menos dos esto colate reemplazada por t menos 2 quedando a la t menos 2 por coseno dt menos 2 y bueno ustedes quizás estén pensando que no debemos de estar haciendo esto pasito a pasito para explicarlo pero estoy haciendo esto poco a poco para que yo misma no me confunda y creo que es esencial que ustedes se tomen la molestia de hacer esto paso a paso y vamos a revisar cuáles fueron estos pasos que hicimos para resolver este problema vimos que queríamos convertir este denominador en una forma que fuera vagamente útil para nosotros por lo que completamos el cuadrado aquí y reescribimos nuestra transformada de la plaza nuestra fdc como esto y después hicimos un reconocimiento de patrones tomando la transformada de la plaza de cocina de té obteniendo esta forma de s / s cuadrada + 1 pero esta es una s menos 1 / s menos 1 al cuadrado más 1 lo que significa que estamos multiplicando nuestra función original en el tiempo x elevado a la 1 por t aquí está el 1 y es por eso que llegamos a esta expresión así que la transformada de la plaza de el alto por coseno dt quedó como s menos 1 entre s menos 1 al cuadrado más 1 y esta es la menos 2 s en todo este tiempo nos dimos cuenta que esta era la menos 12 s en nuestra transformada de la plaza si tomáramos la transformada inversa esto debería ser la función escalón unitario multiplicado por la función con desplazamiento y es por eso que fui especialmente cuidadosa teníamos este 2 todo el tiempo que bueno lo pude haber resuelto en un primer momento pero estas constantes se pueden ignorar hasta el final ya que una función x 2 es igual a la transformada de la plaza de esa función multiplicada por dos y viceversa pero es por eso que fui especialmente cuidadosa redefinir a efe dt como esto efe bs como esto y dije bueno si efe de ese sexto y lo multiplicó por al menos 2 s entonces lo que esencialmente estoy haciendo es coincidir con este patrón de acá así que la respuesta a mi problema fue utilizar la función escalón unitario aquí incluye el 22 x la función escalón unitario por mi función f dt desplazada por c y establecimos que ésta era nuestra efe nt así que si la desplazamos con c que ésta se fue igualado pues nos quedó esta respuesta como ven esta fue la parte más difícil a resolver la transformada inversa de la plaza espero que hayan encontrado esto bastante interesante