Matrices invertibles y transformaciones

Por aquí tenemos dos matrices de dos por  dos y ya hemos visto en otros videos que   una matriz de dos por dos puede representar  una transformación del plano de coordenadas,   del plano bidimensional, donde por supuesto  este es el eje x y este es el eje y. Y lo que vamos a hacer en este video  es visualizar estas transformaciones   y obtener una representación visual  que nos muestre por qué es razonable   que A tenga una inversa o por qué la  matriz A es invertible y por qué no es   razonable que B tenga una matriz inversa  o por qué la matriz B no es invertible. Así que solo como un repaso, recuerda:   estas matrices de transformación básicamente  nos dicen qué hacer con los vectores unitarios. Por ejemplo, si tenemos el vector unitario  1,0, entonces la primera columna de cada   una de estas matrices nos dice cómo se va  a transformar ese vector unitario 1,0, el   vector que va una unidad en dirección x, después  de aplicarle cada una de estas transformaciones. Y luego, por supuesto, si tenemos el vector  unitario en la dirección Y, el vector unitario   0,1, entonces las segundas columnas de  aquí nos dicen cuál será su transformación. Así que primero pensemos en la matriz A,  la matriz A transforma el vector 1,0 en   el vector 2,1 por lo que el vector  2,1 se va a ver así y transforma el   vector 0,1 en el vector 2,3, por lo  que el vector 2,3 se va a ver así. Así que una manera de pensar en esto es que,  en lugar de nuestra cuadrícula que representa   ejes de coordenadas estándar, tenemos ahora  una nueva cuadrícula que se vería justo así. y para definir esta nueva cuadrícula  observamos los múltiplos de la transformación   del vector 1,0 y los múltiplos de  la transformación del vector 0,1. Así que, por ejemplo, si tomara este  punto de aquí antes de ser transformado,   tiene uno de cada uno de estos vectores,  Ahora si le aplicamos esta primera transformación  tendrá uno de cada uno de estos nuevos vectores. Así que va a tener un vector 2,1 más un vector 2,3  por lo que este punto se  transforma en este otro punto. Utilizando esa misma lógica, este punto de  aquí que es una unidad más en la dirección x  ahora va a tener una unidad más en  la dirección de la transformación   del vector unitario x, y pasará a este punto aquí. De nuevo, usando la misma lógica, este  nuevo punto de aquí será una unidad   más en la dirección de la transformación del  vector unitario Y, y pasará a este punto aquí. Y por la misma lógica este otro punto se  transformará en este punto y entonces esta   región que te estoy mostrando en blanco  se transformará en esta nueva región. Ahora hay algunas cosas obvias que suceden aquí. Tenemos un área bidimensional que  se ha transformado en otra área   bidimensional y de hecho, parece que ha aumentado. En otros videos hemos visto  que este factor de escala va   a ser el valor absoluto del determinante de A. Y está claro que no solo es un factor distinto  de cero sino que además es mayor que uno,   ya que parece que estamos aumentando nuestra área. Ahora bien, el hecho de que  este factor no es igual a   cero nos indica que escalamos de un área  bidimensional a otra área bidimensional. Y por lo tanto es completamente  razonable pensar que podemos regresar,   debe existir una transformación que  te lleva de esta región a esa región. Entonces es razonable pensar  en que existe A inversa. Ahora, para comparar, vamos a pensar en la matriz   B justo aquí. La matriz B transforma el  vector unitario 1,0 en el vector 2,1,   así que lo transforma en este vector, muy  similar a lo que sucedió en la matriz A. Pero veamos lo que hace con el vector  0,1. Lo transforma en el vector 4,2;  el vector 4,2 es este, observa, el vector  4,2 es solo dos veces el vector 2,1. Es decir, va en la misma dirección  y solo tiene un tamaño diferente   o una longitud diferente o una magnitud diferente. Así que en esta situación tomamos cosas  bidimensionales y las transformamos en   combinaciones de cosas que  van en una misma dirección. Así que todo lo que está en dos dimensiones   va a transformarse en algo que  está sobre esta recta de aquí. Así que si a esta región le  aplicamos la transformación   B obtenemos una región de esta recta por aquí. Si transformamos cualquier cosa utilizando la  matriz B obtendremos algo sobre esta recta. Por lo tanto, pasamos de algo con  área a algo que no tiene área,   por lo que el factor de escala aquí debe ser cero. Así que sabemos que el valor absoluto  del determinante de B es cero,  y por lo tanto, podemos decir que el  determinante de B es igual a cero. Entonces, ¿cómo encontraríamos la matriz inversa? Es decir, ¿cómo vas a tener una transformación   que pueda escalar de un área  cero a algo que tenga área? Así que podemos concluir que  la inversa de B no existe,   no hay ninguna transformación que  pueda regresarnos a donde empezamos. Muy bien, hay un par de cosas  importantes que recordar por aquí,   la primera es reforzar la idea de que si el  determinante de una matriz de transformación   es cero, entonces esa matriz no  tendrá inversa, no es invertible. La otra cosa importante es reconocer los  patrones en la propia matriz que vimos aquí:  Observa, la segunda columna es sólo  un múltiplo de la primera columna;  es el doble de la primera columna, es decir  dos veces dos es cuatro y una vez dos es dos. También se puede ver al revés: la primera  fila es un múltiplo de la segunda fila. Y puedes jugar un poco con las matemáticas  si quieres generalizarlo y ver si ese es   el caso general en el que el  determinante siempre será cero. Y esto se debe a que si vemos  esto como transformaciones,   el resultado será una recta y  con esto se pierde toda el área. Si lo ves como una representación del lado  izquierdo en un sistema de ecuaciones,   puedes pensar en esto como un par de  rectas que tienen la misma pendiente   pero hablaremos de esto con  más detalle en otros videos.